Hvorfor er sjansen for sju rette i Lotto akkurat 1 til 5 379 616, og ikke bare «ganske liten»? Svaret ligger i et område av matematikken som heter kombinatorikk. Det er det samme stoffet som elever møter i sannsynlighetsregning på ungdomsskolen.
I denne artikkelen går vi gjennom matematikken bak vinnersjansene i de mest kjente norske tallspillene, steg for steg. Målet er ikke å gi deg en strategi for å vinne, for en slik strategi finnes ikke. Målet er at du skal forstå hva tallene faktisk betyr.
Hva er sannsynlighet?
Sannsynlighet er et tall mellom 0 og 1 som beskriver hvor trolig det er at noe skjer. 0 betyr at hendelsen aldri skjer, og 1 betyr at den er helt sikker.
Den enkleste formelen bygger på det som kalles gunstige og mulige utfall:
Sannsynlighet = antall gunstige utfall / antall mulige utfall
Et gunstig utfall er det utfallet du håper på. Mulige utfall er alt som kan skje. Kaster du en vanlig terning, er det seks mulige utfall. Sannsynligheten for å få en sekser er derfor 1/6, omtrent 17 prosent.
Formelen forutsetter at alle utfall er like sannsynlige. Det gjelder for en rettferdig terning, og det gjelder for kulene i en lottotrekning.
Odds og sannsynlighet er ikke det samme
Uttrykket «1 til 5,4 millioner» brukes ofte om vinnersjanser. Det betyr at det finnes rundt 5,4 millioner mulige rekker, og at bare én av dem gir førstepremie. Dette er altså sannsynligheten skrevet som en brøk, ikke odds i betting-forstand. I oddsspill beskriver oddsen hvor mye du får igjen per krone, og der er det en margin bygget inn.
Kombinatorikk: kunsten å telle uten å telle
Kombinatorikk er matematikken for å finne ut hvor mange måter noe kan settes sammen på. I et lottospill er spørsmålet: hvor mange ulike rekker kan man lage?
Her er to begreper viktige:
- Rekkefølgen spiller ingen rolle. Rekken 3–8–12–19–22–27–30 er den samme som 30–27–22–19–12–8–3.
- Et tall kan bare trekkes én gang. Kulene legges ikke tilbake.
Når begge disse vilkårene gjelder, snakker matematikerne om kombinasjoner uten tilbakelegging. Antallet skrives ofte som C(n, k), der n er hvor mange tall du kan velge mellom, og k er hvor mange du skal velge.
Fakultet: utropstegnet i matematikken
For å regne ut C(n, k) trenger vi fakultet, som skrives med utropstegn. 5! (les: «fem fakultet») betyr 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Fakultet forteller hvor mange måter et antall ting kan stilles i rekkefølge på.
Formelen for kombinasjoner er:
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
Formelen ser skremmende ut, men i praksis forkorter mye seg bort. Det ser vi i neste eksempel.
Regneeksempel: sju rette i Lotto
I Lotto velger du 7 tall fra 1 til 34. Vi skal finne ut hvor mange ulike rekker som finnes, altså C(34, 7).
Steg 1: Tenk deg at du trekker tallene ett og ett. Det første tallet kan være ett av 34, det neste ett av 33, og så videre. Med sju tall blir det 34 · 33 · 32 · 31 · 30 · 29 · 28 = 27 113 264 640 ordnede rekker.
Steg 2: Her har vi talt hver rekke mange ganger, fordi de samme sju tallene kan komme i ulik rekkefølge. Sju tall kan ordnes på 7! = 5 040 måter.
Steg 3: Del på 5 040 for å fjerne dobbelttellingen: 27 113 264 640 / 5 040 = 5 379 616.
Det finnes altså 5 379 616 ulike lottorekker, og bare én av dem har alle sju vinnertallene. Sannsynligheten for førstepremien med én rekke er derfor 1 / 5 379 616, eller omtrent 0,000019 prosent.
Hva med seks eller fem rette?
Samme metode kan brukes på de lavere premiegruppene. For å få nøyaktig seks rette må du ha 6 av de 7 vinnertallene og 1 av de 27 tallene som ikke ble trukket som vinnertall.
- Måter å velge 6 av 7 vinnertall: C(7, 6) = 7
- Måter å velge 1 av 27 andre tall: C(27, 1) = 27
- Til sammen: 7 · 27 = 189 rekker
Sjansen for nøyaktig seks vinnertall er dermed 189 / 5 379 616, omtrent 1 til 28 464.
For fem rette blir regnestykket C(7, 5) · C(27, 2) = 21 · 351 = 7 371 rekker. Det gir en sjanse på omtrent 1 til 730. I selve spillet avgjør tilleggstallene hvilken premiegruppe du havner i, men grunnprinsippet er det samme.
Vinnersjansene i de norske tallspillene
Den samme kombinatorikken ligger bak alle de store tallspillene. Forskjellen er hvor mange tall det trekkes fra, og om det finnes en ekstra trekning.
| Spill | Slik spiller du | Utregning | Mulige rekker | Sjanse for førstepremie |
|---|---|---|---|---|
| Lotto | 7 av 34 | C(34, 7) | 5 379 616 | ca. 1 : 5,4 millioner |
| Vikinglotto | 6 av 48 + 1 vikingtall av 5 | C(48, 6) · 5 | 61 357 560 | ca. 1 : 61 millioner |
| Eurojackpot | 5 av 50 + 2 stjernetall av 12 | C(50, 5) · C(12, 2) | 139 838 160 | ca. 1 : 140 millioner |
| Tippekupongen | 12 kamper, H/U/B | 3¹² | 531 441 | 1 : 531 441 ved ren gjetting |
Multiplikasjonsprinsippet
Vikinglotto og Eurojackpot har to separate trekninger. Da bruker man multiplikasjonsprinsippet: antall muligheter i den første trekningen ganges med antall muligheter i den andre.
I Vikinglotto er det C(48, 6) = 12 271 512 måter å velge seks hovedtall på. Vikingtallet trekkes fra 1 til 5, og det gir fem muligheter. 12 271 512 · 5 = 61 357 560.
Et interessant eksempel er at vikingtallet tidligere ble trukket fra 1 til 8. Da var sjansen for førstepremie 12 271 512 · 8, omtrent 1 til 98 millioner. Ved å fjerne tre mulige vikingtall ble førstepremien altså omtrent 37 prosent lettere å vinne, uten at noe annet i spillet ble endret.
Tippekupongen: tre utfall, tolv ganger
Tippekupongen er et godt eksempel på potenser. Hver kamp har tre mulige utfall: hjemmeseier, uavgjort eller borteseier. Med tolv kamper blir det 3 · 3 · 3 … tolv ganger, altså 3¹² = 531 441 mulige rekker.
Her er det viktig å forstå en forskjell. I Lotto er alle tall like sannsynlige. I fotball er de tre utfallene sjelden like sannsynlige, fordi lagene er ulike. Tallet 1 : 531 441 gjelder derfor bare hvis man gjetter tilfeldig. Kunnskap om lagene kan endre sjansen, mens kunnskap aldri kan endre sjansen i et tallspill.
Hvorfor flere rekker gir lineær, ikke magisk, effekt
Mange tror at det å spille flere rekker øker sjansen dramatisk. Matematikken sier noe annet: sjansen øker i samme takt som antall rekker.
Spiller du 10 ulike rekker i Lotto, blir sjansen 10 / 5 379 616, omtrent 1 til 538 000. Det er ti ganger bedre enn med én rekke, men fortsatt svært lite.
Systemspill sett med matematiske briller
I et systemspill velger du flere enn sju tall, og systemet spiller alle kombinasjoner av dem. Kombinatorikken forteller hvor mange rekker det blir:
| Antall tall valgt | Utregning | Antall rekker | Sjanse for sju rette |
|---|---|---|---|
| 7 | C(7, 7) | 1 | ca. 1 : 5,4 millioner |
| 8 | C(8, 7) | 8 | ca. 1 : 672 000 |
| 10 | C(10, 7) | 120 | ca. 1 : 44 800 |
Tabellen viser at antall rekker, og dermed prisen, vokser raskt når du legger til tall. Systemspill gir ingen «rabatt» på sannsynlighet. Du betaler for hver eneste rekke du dekker.
Et tankeeksperiment om tid
Tenk deg at du leverer én lottorekke hver lørdag hele året, altså 52 rekker. 5 379 616 / 52 gir omtrent 103 000. I gjennomsnitt måtte du altså spilt i rundt 103 000 år for å forvente én førstepremie. Det er ikke en spådom, men en måte å gjøre et abstrakt tall konkret på.
Vanlige tankefeil om sannsynlighet
Selv folk som behersker formlene, kan falle for intuitive feilslutninger. Her er de vanligste.
«Tallet er på overtid»
Dette kalles spillerens feilslutning, på engelsk gambler’s fallacy. Kulene i en trekning har ingen hukommelse. Et tall som ikke har kommet på mange uker, har nøyaktig samme sjanse som alle andre tall i neste trekning. Hver trekning er en uavhengig hendelse.
«1–2–3–4–5–6–7 kan aldri komme»
Rekken 1–2–3–4–5–6–7 virker usannsynlig fordi den har et mønster. Men den har nøyaktig samme sannsynlighet som enhver annen rekke: 1 til 5 379 616. Det eneste som skiller den, er at mange velger slike mønstre. Vinner den, må premien derfor ofte deles på flere.
«Store jackpoter gir bedre sjanse»
Størrelsen på premiepotten påvirker ikke antallet mulige rekker. Sjansen per rekke er den samme enten potten er 10 eller 100 millioner. Det er bare den mulige gevinsten som endrer seg.
Forventningsverdi: det viktigste begrepet
Forventningsverdi er gjennomsnittet du kan regne med å få igjen per krone over svært mange spill. I Lotto går omtrent halvparten av omsetningen tilbake som premier. Det betyr at den forventede tilbakebetalingen ligger rundt 50 øre per krone innsats over tid. Lotto er derfor matematisk sett underholdning med en kjent pris, ikke en investering.
Lotto som mattebok: sannsynlighet i skolen
Sannsynlighetsregning er en fast del av matematikken i grunnskolen. I læreplanen i matematikk for 9. trinn står det blant annet at elevene skal kunne beregne og vurdere sannsynlighet i statistikk og spill. De skal også kunne simulere tilfeldige forsøk med programmering.
Tallspill er derfor et vanlig eksempel i undervisningen, nettopp fordi reglene er enkle og tallene er store nok til å vekke undring. Et typisk skoleprosjekt kan være å skrive et lite program som trekker tusenvis av tilfeldige lottorekker og sammenligner resultatet med det teoretiske svaret.
Når regnestykkene blir tunge
Mange voksne husker kombinatorikk som et av de tyngste temaene fra skoletiden, og for mange elever er det fortsatt slik i dag. Fakultet, brøker og store tall kommer samtidig, og et lite hull i brøkregningen kan gjøre hele temaet uoversiktlig.
For foreldre som merker at barnet sliter med matematikken, kan det være nyttig å vite hvilke former for støtte som finnes. På leksehjelpguiden finner du en oversikt over ulike typer leksehjelp, fra gratis tilbud gjennom kommunen og frivillige organisasjoner til privatlærer og digitale løsninger.
Slik kan du øve på temaet hjemme
Du trenger ikke kjøpe en eneste kupong for å bruke lottospill som matteøvelse. Noen enkle oppgaver å regne på:
- Hvor mange rekker finnes det hvis man velger 3 av 10 tall? (Svar: C(10, 3) = 120)
- Hva er sannsynligheten for å få to seksere på rad med en terning? (Svar: 1/6 · 1/6 = 1/36)
- Hvor mange rekker blir det på en tippekupong med bare fire kamper? (Svar: 3⁴ = 81)
- Hvorfor er sjansen like stor for rekken 1–2–3–4–5–6–7 som for en tilfeldig rekke?
Slike oppgaver trener nøyaktig de samme ferdighetene som kreves på prøver og eksamen, men med et utgangspunkt mange kjenner fra hverdagen.
Hva matematikken kan og ikke kan fortelle deg
Sannsynlighetsregning kan fortelle deg nøyaktig hvor stor sjansen er. Den kan ikke fortelle deg hvilke tall som kommer i neste trekning. Ingen formel, statistikk eller programvare kan forutsi en rettferdig lottotrekning.
Det matematikken derimot gjør, er å gi realistiske forventninger. Den som vet at sjansen for førstepremien i Eurojackpot er rundt 1 til 140 millioner, og at forventet tilbakebetaling i Lotto er rundt halvparten av innsatsen, har et godt grunnlag for å holde pengespill på et nivå som er underholdning og ikke noe mer.
Husk at aldersgrensen for pengespill i Norge er 18 år. Eksemplene i denne artikkelen er ment som matematikk og forklaring, ikke som en oppfordring til å spille. Setter du deg grenser, bør de settes før du spiller, og aldri etter et tap.
