Matematikken bak vinnersjansene – slik regner du ut sannsynligheten i Lotto og tipping

Når Norsk Tipping skriver «vinnersjanse 1:5,4 mill. per rekke» under Lotto-kupongen, er det ikke et anslag eller en markedsføringsfrase. Tallet er et helt eksakt resultat av en enkel regneregel som mange lærer på videregående skole.

I denne artikkelen går vi gjennom matematikken bak vinnersjansene i de mest kjente spillene i Norge. Du trenger ingen forkunnskaper, for vi forklarer alle begrepene underveis. Målet er å vise hvordan tallene faktisk blir til, ikke å gi råd om spill.

Tre begreper du trenger først

Før vi regner på konkrete spill, er det nyttig å kjenne tre grunnbegreper fra sannsynlighetsregningen.

Utfall er ett mulig resultat av et forsøk. Når en Lotto-trekning gir tallene 3, 8, 14, 19, 22, 27 og 31, er det ett utfall.

Utfallsrom er alle mulige utfall til sammen. Hvor stort utfallsrommet er, avgjør hvor vanskelig det er å treffe.

Uniform sannsynlighet betyr at alle utfall er like sannsynlige. Da er sannsynligheten for et bestemt utfall rett og slett:

P = antall gunstige utfall / antall mulige utfall

I et rent lotterispill med trekningsmaskin er alle tallkombinasjoner like sannsynlige. Dermed handler hele utregningen om å telle hvor mange kombinasjoner som finnes. Denne tellingen kalles kombinatorikk.

Ordnet eller uordnet utvalg – den viktigste forskjellen

Kombinatorikk skiller mellom to typer utvalg:

• Ordnet utvalg: rekkefølgen betyr noe, som i en PIN-kode der 1-2-3-4 ikke er det samme som 4-3-2-1.
• Uordnet utvalg: bare hvilke elementer som er med teller, ikke rekkefølgen.

Lotto er et uordnet utvalg. Det spiller ingen rolle om 14 blir trukket før eller etter 31, for bare de sju tallene på rekken teller.

For uordnede utvalg uten tilbakelegging bruker man binomialkoeffisienten, som skrives C(n, k) eller «n over k». Den forteller hvor mange måter man kan velge k elementer blant n på:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Utropstegnet betyr fakultet: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Tallene vokser svært raskt, og derfor bruker man nesten alltid kalkulator, regneark eller et digitalt verktøy til utregningen.

Lotto: hvorfor akkurat 1 til 5 379 616?

I norsk Lotto trekkes 7 hovedtall blant tallene 1–34. For å vinne førstepremien må alle sju tallene stå på én og samme rekke.

Antall mulige rekker er:

C(34, 7) = 34! / (7! · 27!) = 5 379 616

Bare én av disse kombinasjonene gir 7 rette. Sannsynligheten for førstepremie er derfor 1 : 5 379 616 per rekke, som Norsk Tipping runder av til «1:5,4 millioner».

For å sette tallet i perspektiv: Leverer du én rekke hver uke, vil det i gjennomsnitt gå rundt 103 000 år mellom hver gang du får 7 rette. Det betyr ikke at det tar så lang tid, men det viser hvor stort utfallsrommet er.

Sjansen for 4, 5 og 6 rette

Lavere premiegrupper regnes ut med en utvidelse av samme idé. For å få nøyaktig k rette må du velge k av de 7 vinnertallene og resten blant de 27 tallene som ikke ble trukket:

P(k rette) = C(7, k) · C(27, 7 − k) / C(34, 7)

Denne formelen kalles den hypergeometriske fordelingen. Den brukes når man trekker uten å legge tilbake, som i Lotto.

Tabellen gjelder rene hovedtall. Tilleggstallet deler 6 rette opp i to premiegrupper, men endrer ikke totalen.

Tabellen viser noe mange overser: Nesten 98 av 100 rekker ender med tre rette eller færre.

Vikinglotto og Eurojackpot: to tallgrupper ganget sammen

Noen spill trekker fra to separate tallgrupper. Da regner du ut kombinasjonene i hver gruppe for seg og ganger dem sammen. Dette kalles multiplikasjonsprinsippet: Hvis ett valg kan gjøres på a måter og et annet, uavhengig valg på b måter, kan de gjøres sammen på a · b måter.

I Vikinglotto velger du 6 tall av 48 og 1 vikingtall av 5:

C(48, 6) · 5 = 12 271 512 · 5 = 61 357 560

Det gir en førstepremiesjanse på omtrent 1 : 61 millioner per rekke.

I Eurojackpot velger du 5 hovedtall av 50 og 2 stjernetall av 12:

C(50, 5) · C(12, 2) = 2 118 760 · 66 = 139 838 160

Det gir omtrent 1 : 140 millioner per rekke.

Tippekupongen: 3 opphøyd i 12

Tippekupongen er bygd opp på en annen måte. Her skal du tippe hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B) i 12 fotballkamper. Hver kamp har tre mulige utfall, og valgene gjøres uavhengig av hverandre.

Etter multiplikasjonsprinsippet blir antall mulige rekker:

3 · 3 · 3 · … · 3 (12 ganger) = 3¹² = 531 441

Med én enkeltrekke er den teoretiske sjansen for 12 rette derfor 1 : 531 441.

11 og 10 rette

For 11 rette må nøyaktig én kamp være feil. Den kampen kan være hvilken som helst av de 12, og den kan være feil på to måter. Det gir 12 · 2 = 24 rekker og en sjanse på omtrent 1 : 22 143.

For 10 rette må to kamper være feil. Man kan velge to kamper blant tolv på C(12, 2) = 66 måter, og hver av dem kan være feil på to måter. Det gir 66 · 2 · 2 = 264 rekker og en sjanse på omtrent 1 : 2 013.

Et viktig forbehold

Utregningene over forutsetter at alle tre utfallene i hver kamp er like sannsynlige. Det er de ikke i virkeligheten. En storfavoritt på hjemmebane vinner oftere enn en tredjedel av gangene.

Tipping er derfor et kunnskapsspill der sannsynlighetene varierer fra kamp til kamp. Tallet 1 : 531 441 er en matematisk referanse, ikke den faktiske sjansen for en gitt kupong.

Systemspill og garderinger

Når du halvgarderer (dekker to utfall) eller helgarderer (dekker alle tre) i noen kamper, ganger du antall valg per kamp:

• 2 helgarderinger og 3 halvgarderinger gir 3 · 3 · 2 · 2 · 2 = 72 rekker.
• Med en rekkepris på 1 krone koster kupongen da 72 kroner.
• Én systemkupong kan inneholde maks 486 rekker.

Garderinger øker sjansen fordi du dekker flere kombinasjoner, men kostnaden øker i nøyaktig samme takt.

Forventningsverdi – hva du får tilbake i snitt

Et annet sentralt begrep er forventningsverdi. Den beskriver hva et spill i gjennomsnitt gir tilbake per krone over svært mange omganger.

I tipping går 55 prosent av spilleinnsatsen tilbake til spillerne som premier og bonuspott. Forventningsverdien for spillerne samlet er dermed 0,55 kroner per innsatte krone. Over tid tilsvarer det et gjennomsnittlig tap på 45 øre per krone.

Resten går til å dekke driftskostnader og til idrett og kultur. Forventningsverdien sier ingenting om hva som skjer med én enkelt kupong. Den beskriver gjennomsnittet over mange omganger.

Vanlige misforståelser om sannsynlighet

Menneskehjernen er ikke laget for å forstå store tall og tilfeldighet intuitivt. Her er noen vanlige tankefeil:

• «Tallet har ikke kommet på lenge, så det er snart på tur.» Dette kalles gamblerens feilslutning. Lotto-kulene har ingen hukommelse, og hver trekning er uavhengig av de forrige.
• «1-2-3-4-5-6-7 kan aldri komme.» Rekken er akkurat like sannsynlig som alle andre rekker, altså 1 : 5 379 616. Den føles mindre sannsynlig fordi den ser ordnet ut.
• «Samme tall hver uke øker sjansen.» Sjansen er den samme hver trekning, uansett hvilke tall du velger.
• «To rekker dobler vinnersjansen – så ti rekker gjør den stor.» To rekker dobler riktignok sjansen, men fra 1 : 5,4 millioner til 1 : 2,7 millioner. Ti rekker gir 1 : 537 962.

Sannsynlighet er skolematematikk

Alt vi har regnet på i denne artikkelen, står i læreplanene. I læreplanen for matematikk S1 heter det at elevene skal kunne utforske kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg. De skal også kunne tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger. 

Lotto brukes ofte som eksempel i undervisningen, nettopp fordi trekningen er et oversiktlig og konkret eksempel på et hypergeometrisk forsøk. For mange elever er det likevel her matematikken blir abstrakt. Fakulteter, binomialkoeffisienter og forskjellen på «med» og «uten» tilbakelegging er lette å blande sammen. Derfor er det ikke uvanlig at mange elever bruker leksehjelp for å få kombinatorikken til å sitte før en heldagsprøve eller eksamen. Det gjelder særlig når de har hull i brøkregning eller algebra fra tidligere trinn.

Et godt tips for å øve er å bruke eksemplene over. Prøv å regne ut sjansen for 5 rette i Lotto selv, og kontroller svaret mot tabellen. Da ser du raskt om formelen er forstått.

Oppsummering

• Vinnersjansen i lotterispill er et eksakt tall basert på å telle kombinasjoner.
• Lotto er et uordnet utvalg uten tilbakelegging: C(34, 7) = 5 379 616.
• Spill med to tallgrupper, som Vikinglotto og Eurojackpot, regnes ut med multiplikasjonsprinsippet.
• Tippekupongen har 3¹² = 531 441 mulige rekker, men de faktiske sannsynlighetene varierer fordi fotballkamper ikke er tilfeldige trekninger.
• Forventningsverdien viser at spillerne samlet får tilbake mindre enn de satser.